Сергей Козко родился в Ставрополе. Воспитанник ставропольского «Динамо». Начал профессиональную карьеру в кисловодском «Асмарале» в 1993 году, затем на 5 сезонов вернулся в «Динамо». В 1999 году перешел в «Торпедо-ЗИЛ», а оттуда в 2001-м – в «Рубин». В составе казанского клуба стал бронзовым призером первенства-2003. В том же году впервые получил вызов в сборную России, но ни одного матча за нее не сыграл.

17 сентября 2003 года Козко попал в автомобильную аварию, повредив отросток шейного отдела позвоночника. К сезону-2004 голкипер восстановился от травмы, но по окончанию чемпионата вернулся из «Рубина» в «Москву». После ряда неплохих игр последовало разгромное поражение от бывшего клуба – «Рубина» – на своем поле со счетом 0:5, и Козко потерял место в основе.

В сезоне-2007 Козко сыграл всего 1 матч за первую команду «Москвы» и 4 – за дубль, после чего опять отправился в «Рубин» в качестве свободного агента.

В 2008 году в «Рубине» Козко был дублером Сергея Рыжикова, сыграв в победном для казанцев чемпионате лишь несколько матчей.