Александр Рязанцев – воспитанник детско-юношеской школы «Торпедо». В 17 лет Рязанцев стал капитаном юношеской сборной Москвы и чемпионом России. В 2004 под руководством Леонида Слуцкого стал победителем турнира дублеров в составе «Москвы». В этом же сезоне дебютировал в премьер-лиге в составе первой команды.

В начале 2005 года Рязанцев отказался подписывать новый контракт, предложенный ему «Москвой». В ответ на это Юрий Белоус лишил полузащитника игровой практики до конца сезона. В 2006 году Рязанцев перешел в «Рубин» в качестве свободного агента.

В 2007 году Рязанцев закрепился в основе казанского клуба и стал одним из открытий премьер-лиги по итогам первого круга. Полузащитник забил 5 мячей, в том числе один – в ворота бывшей команды. 12 августа в матче с «Сатурном» Рязанцев получил травму и выбыл до конца сезона.

В 2008 году Рязанцев регулярно появлялся на поле, и заслуженно стал чемпионом России вместе со своей командой.

Рязанцев дебютировал в составе молодежной сборной России в мае 2006 года в матче с Белоруссией.

31 декабря 2009 года подписал новый контракт с «Рубином» до конца 2013 года.